جدول المحتويات:

الجمال الرياضي: سؤال وجواب مع ميدالية الحقول مايكل عطية
الجمال الرياضي: سؤال وجواب مع ميدالية الحقول مايكل عطية

فيديو: الجمال الرياضي: سؤال وجواب مع ميدالية الحقول مايكل عطية

فيديو: سؤال حلقة اليوم مع ميرهان عمرو..وجه كلمة أو رسالة لأبطال مصر الحاصلين على ميداليات في اولمبياد طوكيو 2022, ديسمبر
Anonim

عالم الرياضيات هو الخاطبة العلمية ، يشتهر بالتعاون مع الباحثين من العديد من التخصصات والاقتران مع الآخرين.

الجمال الرياضي: سؤال وجواب مع ميدالية الحقول مايكل عطية
الجمال الرياضي: سؤال وجواب مع ميدالية الحقول مايكل عطية

من مجلة كوانتا (ابحث عن القصة الأصلية هنا).

على الرغم من العديد من الجوائز التي حصل عليها مايكل عطية - فقد فاز بجائزتي Fields و Abel في الرياضيات ؛ رئيس سابق للجمعية الملكية في لندن ، أقدم جمعية علمية في العالم (والرئيس السابق للجمعية الملكية في إدنبرة) ؛ ماجستير سابق في كلية ترينيتي ، كامبريدج ؛ فارس وعضو في وسام الاستحقاق الملكي ؛ وعلى الرغم من ذلك ، ربما يوصف البابا الرياضي البريطاني بشكل أفضل بأنه صانع الثقاب. لديه حدس لترتيب العلاقات الفكرية الصحيحة فقط ، وفي كثير من الأحيان إشراك نفسه وأفكاره الخاصة ، وعلى مدار نصف قرن من الزمان ، قام بسد الفجوة بين الأفكار المتباينة ظاهريًا في مجال الرياضيات ، وبين الرياضيات والفيزياء.

في أحد أيام ربيع 2013 ، على سبيل المثال ، بينما كان جالسًا في معرض الملكة في قصر باكنغهام في انتظار حفل الغداء السنوي مع إليزابيث الثانية ، أجرى السير مايكل مباراة مع صديقه وزميله طوال حياته ، السير روجر بنروز ، العظيم. فيزيائي رياضي.

كان بنروز يحاول تطوير نظريته "الملتوية" ، وهي طريق نحو الجاذبية الكمية التي كانت قيد العمل منذ ما يقرب من 50 عامًا. قال بنروز: "كانت لدي طريقة للقيام بذلك والتي تعني الذهاب إلى ما لا نهاية ، ومحاولة حل مشكلة هناك ، ثم العودة مرة أخرى." كان يعتقد أنه يجب أن يكون هناك طريقة أبسط. وحينها وضع عطية إصبعه عليها ، مقترحًا أن يستخدم بنروز نوعًا من "الجبر غير التبادلي".

قال بنروز: "فكرت ،" يا إلهي ". "لأنني كنت أعرف أن هناك هذا الجبر غير التبادلي الذي كان جالسًا هناك طوال هذا الوقت في نظرية الالتواءات. لكنني لم أفكر في استخدامه بهذه الطريقة بالذات. ربما قال بعض الناس للتو ، "هذا لن ينجح." ولكن مايكل أدرك على الفور أن هناك طريقة يمكنك من خلالها إنجاح الأمر ، والشيء الصحيح تمامًا الذي يجب القيام به ". بالنظر إلى المكان الذي قدم فيه عطية الاقتراح ، أطلق بنروز على فكرته المحسّنة "نظرية الالتواء الفخم".

صورة
صورة

هذه هي قوة عطية. بشكل تقريبي ، أمضى النصف الأول من حياته المهنية في ربط الرياضيات بالرياضيات ، والنصف الثاني يربط الرياضيات بالفيزياء.

اشتهر عطية بـ "نظرية الفهرس" ، التي ابتكرها إيزادور سينغر من معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا عام 1963 (وتسمى بشكل صحيح نظرية مؤشر عطية-سنجر) ، والتي تربط بين التحليل والطوبولوجيا - وهي صلة أساسية أثبتت أهميتها في كليهما المجالات الرياضية ، ولاحقًا في الفيزياء أيضًا. إلى حد كبير لهذا العمل ، فاز عطية بميدالية فيلدز في عام 1966 وجائزة أبيل في عام 2004 (مع سنجر).

في الثمانينيات من القرن الماضي ، لعبت الأساليب المستقاة من نظرية الفهرس دورًا غير متوقع في تطوير نظرية الأوتار - محاولة للتوفيق بين النطاق الواسع للنسبية العامة والجاذبية مع النطاق الصغير لميكانيكا الكم - لا سيما مع عمل بدأ إدوارد ويتن ، مُنظِّر الأوتار في معهد الدراسات المتقدمة في برينستون ، ونيوجيرسي ويتن وعطية تعاونًا ممتدًا ، وفي عام 1990 فاز ويتن بميدالية فيلدز ، وهو الفيزيائي الوحيد الذي فاز بالجائزة ، وكان عطية هو بطله.

الآن ، في سن 86 ، لا يكاد عطية يخفض المستوى. لا يزال يعالج الأسئلة الكبيرة ، ولا يزال يحاول تنظيم اتحاد بين الكم وقوى الجاذبية. على هذه الجبهة ، تصل الأفكار سريعًا وغاضبًا ، ولكن كما يصف عطية نفسه ، فهي لا تزال سلعة بديهية وخيالية وغامضة وخرقاء.

ومع ذلك ، فهو يستمتع بهذه الحالة من الإبداع المتدفق بحرية ، مدفوعًا بجدول أعماله المزدحم. في إطار السعي الحثيث وراء هذه الخطوط الحالية من البحث والتأمل ، ألقى في ديسمبر الماضي رأسًا مزدوجًا من المحاضرات ، متتالية في نفس اليوم ، في جامعة إدنبرة ، حيث كان أستاذًا فخريًا منذ عام 1997. هو يحرص على مشاركة أفكاره الجديدة ويأمل في جذب المؤيدين. ولهذه الغاية ، استضاف في نوفمبر / تشرين الثاني مؤتمراً في الجمعية الملكية في إدنبرة حول "علم الجمال". جلست مجلة كوانتا مع عطية في اجتماع الجمعية الملكية وبعد ذلك ، كلما تباطأ وقتًا كافيًا للإجابة على الأسئلة. ما يلي هو نسخة معدلة من تلك المحادثات التي يمكن التقاطها.

مجلة كوانتا: أين تتبع بدايات اهتمامك بالجمال والعلوم؟

مايكل عطية: لقد ولدت منذ 86 عامًا. هذا عندما بدأ اهتمامي. لقد ولدت في فلورنسا. كان والداي يسميانني باسم مايكل أنجلو ، لكن قال أحدهم ، "هذا اسم كبير لصبي صغير." كان يمكن أن يكون كارثة. لا أستطيع الرسم. ليس لدي موهبة على الإطلاق.

لقد ذكرت أن شيئًا ما "تم النقر عليه" خلال محاضرة روجر بنروز حول "دور الفن في الرياضيات" وأن لديك الآن فكرة لورقة بحثية تعاونية. ما هي هذه النقرة ، العملية أو الحالة - هل يمكنك وصفها؟

إنه نوع الشيء الذي بمجرد رؤيته ، الحقيقة أو الصدق ، يحدق في وجهك فقط. الحقيقة هي النظر إليك. لا داعي للبحث عنه. إنها مشرقة على الصفحة.

هل هذه هي الطريقة التي تصل بها أفكارك بشكل عام؟

كانت هذه نسخة مذهلة. الجزء المجنون من الرياضيات هو ظهور فكرة في رأسك. عادة عندما تكون نائمًا ، لأنه عندما يكون لديك أقل قدر من الموانع. الفكرة تطفو من السماء تعرف أين. يطفو في السماء. تنظر إليها وتعجب بألوانها. إنه فقط هناك. ثم في مرحلة ما ، عندما تحاول تجميدها ، أو وضعها في إطار صلب ، أو جعلها تواجه الواقع ، فإنها تختفي ، وتختفي. ولكن تم استبداله بهيكل ، يلتقط جوانب معينة ، لكنه تفسير أخرق.

هل كان لديك دائما أحلام رياضية؟

أنا اعتقد ذلك. الأحلام تحدث أثناء النهار ، تحدث في الليل. يمكنك أن تسميهم رؤية أو حدس. لكنها في الأساس حالة ذهنية خالية من الكلمات أو الصور أو الصيغ أو العبارات. إنه "قبل" كل ذلك. إنه ما قبل أفلاطون. إنه شعور بدائي للغاية. ومرة أخرى ، إذا حاولت الإمساك بها ، فإنها تموت دائمًا. لذلك عندما تستيقظ في الصباح ، تبقى بعض البقايا الغامضة باقية ، شبح فكرة. تحاول أن تتذكر ما كان عليه وأنت تحصل على نصفه فقط بشكل صحيح ، وربما يكون هذا أفضل ما يمكنك فعله.

هل الخيال جزء منه؟

على الاطلاق. السفر عبر الزمن في المخيلة رخيص وسهل - لا تحتاج حتى إلى شراء تذكرة. يعود الناس إلى الوراء ويتخيلون أنهم جزء من الانفجار العظيم ، ثم يسألون عما حدث من قبل.

صورة
صورة

ما الذي يوجه جمال الخيال؟

إنه ليس نوع الجمال الذي يمكنك الإشارة إليه - إنه الجمال بمعنى أكثر تجريدًا.

منذ وقت ليس ببعيد ، قمت بنشر دراسة ، مع سمير زكي ، عالم الأعصاب في جامعة كوليدج لندن ، ومتعاونين آخرين ، حول تجربة الجمال الرياضي وعلاقاته العصبية..

هذه هي أكثر المقالات التي كتبتها قراءة على الإطلاق! من المعروف منذ فترة طويلة أن جزءًا من الدماغ يضيء عندما تستمع إلى موسيقى لطيفة ، أو تقرأ شعرًا لطيفًا ، أو تنظر إلى صور جميلة - وكل ردود الفعل هذه تحدث في نفس المكان ["الدماغ العاطفي" ، على وجه التحديد القشرة الأمامية المدارية الإنسي]. وكان السؤال: هل تقدير الجمال الرياضي هو نفسه أم هو مختلف؟ وكان الاستنتاج هو نفسه. نفس الجزء من الدماغ الذي يقدر الجمال في الموسيقى والفن والشعر يشارك أيضًا في تقدير الجمال الرياضي. وكان هذا اكتشافًا كبيرًا.

لقد توصلت إلى هذا الاستنتاج من خلال عرض معادلات مختلفة لعلماء الرياضيات بينما سجل التصوير بالرنين المغناطيسي استجابتهم. أي معادلة فازت كأجمل؟

آه ، الأكثر شهرة ، معادلة أويلر:.

هأنا + 1 = 0.

أنها تنطوي على π ؛ الثابت الرياضي e [عدد أويلر ، 2.71828 …] ؛ أنا ، الوحدة التخيلية ؛ 1 ؛ و 0 - فهو يجمع بين جميع الأشياء الأكثر أهمية في الرياضيات في صيغة واحدة ، وهذه الصيغة عميقة جدًا حقًا. لذلك اتفق الجميع على أن تلك كانت أجمل معادلة. اعتدت أن أقول إنه كان المكافئ الرياضي لعبارة هاملت "أكون أو لا أكون" - قصيرة جدًا ، وموجزة جدًا ، ولكن في نفس الوقت عميقة جدًا. تستخدم معادلة أويلر خمسة رموز فقط ، لكنها تلخص أيضًا أفكارًا عميقة بشكل جميل ، والإيجاز جزء مهم من الجمال.

أنت معروف بشكل خاص بعملين جميلين للغاية ، ليس فقط نظرية الفهرس ولكن أيضًا نظرية K ، التي تم تطويرها مع الطوبولوجي الألماني فريدريش هيرزبروخ. أخبرني عن نظرية K..

نظرية الفهرس ونظرية K هما في الواقع وجهان لعملة واحدة. لقد بدؤوا بشكل مختلف ، ولكن بعد فترة اندمجوا معًا لدرجة أنه لا يمكنك فصلهم. كلاهما مرتبط بالفيزياء ، لكن بطرق مختلفة.

نظرية K هي دراسة الفضاء المسطح والمساحة المسطحة التي تتحرك حولها. على سبيل المثال ، دعنا نأخذ كرة ، الأرض ، ودعنا نأخذ كتابًا كبيرًا ونضعه على الأرض ونحركه. هذه قطعة مسطحة من الهندسة تتحرك على قطعة منحنية من الهندسة. ك- النظرية تدرس جميع جوانب تلك الحالة - الطوبولوجيا والهندسة. لها جذورها في ملاحتنا للأرض.

يمكن أيضًا استخدام الخرائط التي استخدمناها لاستكشاف الأرض لاستكشاف كل من الكون واسع النطاق ، والخروج إلى الفضاء بالصواريخ ، والكون صغير الحجم ، ودراسة الذرات والجزيئات. ما أفعله الآن هو محاولة توحيد كل ذلك ، و K -theory هي الطريقة الطبيعية للقيام بذلك. لقد كنا نقوم بهذا النوع من رسم الخرائط لمئات السنين ، وربما سنفعل ذلك لآلاف أخرى.

هل أدهشتك أن نظرية K ونظرية الفهرس اتضح أنهما مهمان في الفيزياء؟

نعم بالتأكيد. لقد فعلت كل هذه الهندسة دون أن يكون لدي أي فكرة عن ارتباطها بالفيزياء. كانت مفاجأة كبيرة عندما قال الناس ، "حسنًا ، ما تفعله مرتبط بالفيزياء." وهكذا تعلمت الفيزياء بسرعة ، وتحدثت إلى علماء فيزيائيين جيدين لمعرفة ما كان يحدث.

صورة
صورة

كيف بدأ تعاونك مع ويتن؟

التقيت به في بوسطن عام 1977 ، عندما كنت مهتمًا بالعلاقة بين الفيزياء والرياضيات. حضرت اجتماعًا ، وكان هناك هذا الشاب الصغير مع الشباب الأكبر سنًا. بدأنا الحديث ، وبعد بضع دقائق أدركت أن الشاب كان أذكى بكثير من كبار السن. لقد فهم كل الرياضيات التي كنت أتحدث عنها ، لذلك بدأت في الاهتمام به. كان ذلك ويتن. وظللت على اتصال به منذ ذلك الحين.

ما الذي كان يحب العمل معه؟

في عام 2001 ، دعاني إلى معهد كاليفورنيا للتكنولوجيا ، حيث كان أستاذًا زائرًا. شعرت كأنني طالب دراسات عليا مرة أخرى. كنت أدخل القسم كل صباح ، وأذهب لرؤية ويتن ، ونتحدث لمدة ساعة أو نحو ذلك. كان سيعطيني واجبي المنزلي. سأذهب بعيدًا وأقضي الـ 23 ساعة القادمة في محاولة اللحاق بالركب. في غضون ذلك ، كان يذهب ويفعل نصف دزينة من الأشياء الأخرى. كان لدينا تعاون مكثف للغاية. لقد كانت تجربة رائعة لأنها كانت أشبه بالعمل مع مشرف لامع. أعني ، كان يعرف كل الإجابات قبل أن أحصل عليها. إذا جادلنا يومًا ما ، فقد كان على حق وأنا مخطئ. كان محرج!.

لقد قلت من قبل أن الترابطات غير المتوقعة التي تظهر أحيانًا بين الرياضيات والفيزياء هي أكثر ما تروق لك - فأنت تحب أن تجد نفسك تخوض في منطقة غير مألوفة..

حق؛ حسنًا ، كما ترى ، يمكن التنبؤ بالكثير من الرياضيات. يوضح لك أحدهم كيفية حل مشكلة واحدة ، وتقوم بنفس الشيء مرة أخرى. في كل مرة تخطو فيها خطوة إلى الأمام ، فأنت تتبع خطوات الشخص الذي جاء من قبل. بين الحين والآخر ، يأتي شخص ما بفكرة جديدة تمامًا ويهز الجميع. بادئ ذي بدء ، لا يصدق الناس ذلك ، وعندما يؤمنون به ، فإنه يقود في اتجاه جديد تمامًا. تأتي الرياضيات على فترات متقطعة. لديها تطور مستمر ، ومن ثم لديها قفزات متقطعة ، عندما فجأة يكون لدى شخص ما فكرة جديدة. هذه هي الأفكار التي تهم حقًا. عندما تحصل عليهم ، يكون لديهم عواقب وخيمة. نحن على وشك أن نولي واحدة أخرى. كانت لدى أينشتاين فكرة جيدة منذ 100 عام ، ونحن بحاجة إلى فكرة أخرى لدفعنا إلى الأمام.

لكن يجب أن يكون النهج استقصائيًا أكثر منه توجيهيًا. إذا حاولت توجيه العلم ، فأنت تدفع الناس فقط إلى الاتجاه الذي أخبرتهم أن يذهبوا إليه. كل العلم يأتي من الناس الذين يلاحظون مسارات جانبية مثيرة للاهتمام. يجب أن يكون لديك نهج مرن للغاية للاستكشاف والسماح لأشخاص مختلفين بتجربة أشياء مختلفة. وهو أمر صعب ، لأنه ما لم تقفز في العربة ، فلن تحصل على وظيفة.

القلق بشأن مستقبلك ، عليك أن تبقى في الطابور. هذا هو أسوأ شيء في العلم الحديث. لحسن الحظ ، عندما تصل إلى سني ، لا داعي للقلق بشأن ذلك. أستطيع أن أقول ما يعجبني.

في هذه الأيام ، تحاول تجربة بعض الأفكار الجديدة على أمل كسر الجمود في الفيزياء؟

حسنًا ، كما ترون ، توجد فيزياء ذرية - إلكترونات وبروتونات ونيوترونات ، كل الأشياء التي تتكون منها الذرات. في هذه المقاييس الصغيرة جدًا جدًا ، تكون قوانين الفيزياء متشابهة إلى حد كبير ، ولكن هناك أيضًا قوة تتجاهلها ، وهي قوة الجاذبية. الجاذبية موجودة في كل مكان لأنها تأتي من الكتلة الكاملة للكون. لا تلغي نفسها ، ليس لها قيمة موجبة أو سلبية ، كل ذلك يضيف. لذا مهما كانت الثقوب السوداء والمجرات بعيدة ، فإنهم جميعًا يمارسون قوة صغيرة جدًا في كل مكان في الكون ، حتى في الإلكترون أو البروتون. لكن علماء الفيزياء يقولون ، "آه ، نعم ، لكنها صغيرة جدًا بحيث يمكنك تجاهلها ؛ نحن لا نقيس الأشياء الصغيرة إلى هذا الحد ، ولكننا نعمل بشكل جيد تمامًا بدونها ". نقطة البداية هي أن هذا خطأ. إذا صححت هذا الخطأ ، تحصل على نظرية أفضل بكثير.

أنا الآن أنظر مرة أخرى إلى بعض الأفكار التي كانت منذ حوالي 100 عام والتي تم تجاهلها في ذلك الوقت لأن الناس لم يتمكنوا من فهم ما كانت الأفكار تحاول الوصول إليه. كيف تتفاعل المادة مع الجاذبية؟ كانت نظرية أينشتاين أنه إذا وضعت القليل من المادة ، فإنها تغير انحناء الفضاء. وعندما يتغير انحناء الفضاء ، فإنه يعمل على الأمر. إنها آلية ملاحظات معقدة للغاية.

سأعود إلى أينشتاين و [بول] ديراك وأتطلع إليهما مرة أخرى بعيون جديدة ، وأعتقد أنني أرى أشياء فاتها الناس. أقوم بملء فجوات التاريخ ، آخذًا في الاعتبار الاكتشافات الجديدة. علماء الآثار يبحثون عن الأشياء ، أو يجد المؤرخون مخطوطة جديدة ، وهذا يلقي ضوءًا جديدًا تمامًا. هذا ما كنت أفعله. ليس من خلال الذهاب إلى المكتبات ، ولكن بالجلوس في غرفتي في المنزل ، والتفكير. إذا كنت تفكر لفترة كافية ، فستحصل على فكرة جيدة.

إذن أنت تقول أنه لا يمكن تجاهل قوة الجاذبية؟

أعتقد أن كل الصعوبات التي واجهها الفيزيائيون تأتي من تجاهل ذلك. لا يجب أن تتجاهلها. والفكرة هي ، أعتقد أن الرياضيات تصبح مبسطة إذا قمت بإدخالها. إذا تركتها ، فإنك تجعل الأمور أكثر صعوبة على نفسك.

قد يقول معظم الناس أنه لا داعي للقلق بشأن الجاذبية عندما تنظر إلى الفيزياء الذرية. المقياس صغير جدًا لدرجة أنه بالنسبة لنوع الحسابات التي نقوم بها ، يمكن تجاهله. بمعنى ما ، إذا كنت تريد إجابات فقط ، فهذا صحيح. ولكن إذا كنت تريد الفهم ، فأنت قد أخطأت في هذا الاختيار.

إذا كنت مخطئا ، فقد ارتكبت خطأ. لكني لا أعتقد ذلك. لأنه بمجرد اختيارك لهذه الفكرة ، سيكون هناك كل أنواع العواقب اللطيفة. الرياضيات تتناسب مع بعضها البعض. الفيزياء تتناسب مع بعضها البعض. الفلسفة تنسجم مع بعضها البعض.

ما رأي ويتن في أفكارك الجديدة؟

حسنًا ، إنه تحدٍ. لأنني عندما تحدثت إليه في الماضي عن بعض أفكاري ، رفضها ووصفها بأنها ميؤوس منها ، وأعطاني 10 أسباب مختلفة تجعلهم يائسين. الآن أعتقد أنني أستطيع الدفاع عن أرضي. لقد قضيت الكثير من الوقت في التفكير ، آتي إليه من زوايا مختلفة ، وأعود إليه. وآمل أن أتمكن من إقناعه بأن هناك ميزة لأسلوبي الجديد.

أنت تخاطر بسمعتك ، لكنك تعتقد أن الأمر يستحق ذلك..

تم تأسيس سمعتي كعالمة رياضيات. إذا أفسدت الأمر الآن ، سيقول الناس ، "حسنًا ، لقد كان عالم رياضيات جيدًا ، لكن في نهاية حياته فقد كرياته."

ترك صديق لي ، جون بولكينهورن ، الفيزياء تمامًا كما كنت أذهب ؛ ذهب إلى الكنيسة وأصبح عالم لاهوت. أجرينا مناقشة في عيد ميلادي الثمانين وقال لي ، "ليس لديك ما تخسره ؛ ما عليك سوى المضي قدمًا والتفكير في رأيك ". وهذا ما كنت أفعله. لقد حصلت على كل الميداليات التي أحتاجها. ماذا يمكن أن أخسر؟ لهذا السبب أنا مستعد للمغامرة التي لن يكون الباحث الشاب مستعدًا لخوضها.

هل أنت مندهش من كونك مشحونًا جدًا بالأفكار الجديدة في هذه المرحلة من حياتك المهنية؟

قال لي أحد أبنائي ، "مستحيل يا أبي. يبذل علماء الرياضيات قصارى جهدهم بحلول بلوغهم سن الأربعين. وأنت فوق الثمانين من العمر. من المستحيل أن يكون لديك فكرة جيدة الآن ".

إذا كنت لا تزال مستيقظًا ومتنبهًا عقليًا عندما يكون عمرك أكثر من 80 عامًا ، فلديك ميزة أنك عشت فترة طويلة ورأيت العديد من الأشياء ، وتحصل على منظور. أبلغ من العمر الآن 86 عامًا ، وفي السنوات القليلة الماضية كانت لدي هذه الأفكار. تأتي الأفكار الجديدة وتلتقط أجزاء صغيرة هنا وهناك ، وقد حان الوقت الآن ، في حين أنه ربما لم يكن قد نضج قبل خمس أو 10 سنوات.

هل هناك سؤال واحد كبير يوجهك دائمًا؟

أرغب دائمًا في محاولة فهم سبب نجاح الأشياء. لست مهتمًا بالحصول على صيغة بدون معرفة ما تعنيه. أحاول دائمًا البحث وراء الكواليس ، لذلك إذا كان لدي معادلة ، أفهم سبب وجودها. والفهم هو فكرة صعبة للغاية.

يعتقد الناس أن الرياضيات تبدأ عندما تكتب نظرية متبوعة بإثبات. هذه ليست البداية ، هذه النهاية. بالنسبة لي ، يأتي المكان الإبداعي في الرياضيات قبل أن تبدأ في تدوين الأشياء على الورق ، قبل أن تحاول كتابة صيغة.أنت تتخيل أشياء مختلفة ، وتقلبها في ذهنك. أنت تحاول الإبداع ، تمامًا كما يحاول الموسيقي تأليف موسيقى أو شاعر. لا توجد قواعد موضوعة. عليك أن تفعل ذلك بطريقتك الخاصة. لكن في النهاية ، مثلما يجب على الملحن أن يضعها على الورق ، عليك أن تدوّن الأشياء. لكن المرحلة الأكثر أهمية هي الفهم. الدليل في حد ذاته لا يمنحك الفهم. يمكن أن يكون لديك دليل طويل وليس لديك فكرة في نهاية سبب نجاحه. ولكن لفهم سبب نجاحها ، يجب أن يكون لديك نوع من رد الفعل الغريزي تجاه الشيء. عليك أن تشعر به.

أعيد طبعها بإذن من مجلة Quanta ، وهي مطبوعة مستقلة تحريريًا لمؤسسة Simons تتمثل مهمتها في تعزيز الفهم العام للعلوم من خلال تغطية التطورات والاتجاهات البحثية في الرياضيات والعلوم الفيزيائية وعلوم الحياة.

شعبية حسب الموضوع